Binary (ikilik) Sayı Sistemi

Arkadaşlar bu konuda ikilik sayı sistemi olarakta bilinen binary sayılar sistemini anlatmaya                                                           çalışacagız umarız yardımcı olabiliriz.

BİNARY (İKİLİK) SAYI SİSTEMİ

Binary  (İkilik) Sayı sisteminin tabanı 2’dir.Ve bu sistemde sadece “0” ve “1” rakamları kullanılmaktadır. Binary Sayı sisteminde’ de Decimal (Onlu) Sayı sisteminde olduğu gibi her sayı bulunduğu basamağın konum ağırlığı ile çarpılır.

Binary (İkilik) Sayı Sisteminde bulunan her ‘0’ veya ‘1’ rakamları BİT (BInary DigiT) adı ile tanımlanır.Binary (İkili) sayılar yazılırken en sağdaki basamağa en düşük değerlikli bit (Least Significant Bit-LSB),en soldaki basamağa en yüksek değerlikli bit (Most Significant Bit-MSB) adı verilir.



  (1000100000101)

MSB   LSB


Decimal (Onlu) Sayılıları sadece iki rakamdan oluşan Binary (İkilik) sayılarla tanımlayabilmemiz Sayısal Sistemlerin iki voltaj seviyesini kullanarak farklı büyüklükleri tanımlanmasının anlaşılmasını sağlamaktadır.

BİNARY SAYILARIN YAZILIŞI VE DECİMAL SAYILARA ÇEVRİLMESİ

Binary sayıların yazımında tabanın iki olduğu unutulmamalıdır. Binary (ikili) sayıları Decimal (Onlu) sayılara dönüştürürken her bir bit basamak ağırlığı ile çarpılıp bu sonuçların toplanması gerekir.


n.basamak 4.basamak 3.basamak 2.basamak 1.basamak
Üstel değer            2n-1                  23                   22                      21                    20
Ağırlık                   2n-1                  8                    4                        2                     1

Birkaç örnekle hem Binary sayıların yazımını ve Decimal (Onlu) sayılara dönüşümünü
inceleyelim.

Örnek:
(1010)2 = ( ? )10
(1010)2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
(1010)2 = 8 + 0 + 2 + 0
(1010)2 = 10

Örnek:
(11001)2 = ( ? )10
(11001)2 = 1x 24+1x 23+0x 22+0x 21+1x 20
(11001)2 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1
(11001)2 = 25

Not:
Binary (İkilik) sayıların Decimal(Onlu) karşılıkları bulunurken her basamak kendi basamak ağırlığı ile çarpılır. Çarpım sonuçları toplanarak dönüşüm tamamlanır.

Örnek:
Aşağıda verilen Binary(İkilik) sayıların Decimal (Onlu ) karşılıklarını bulunuz.

⦁ ( 101 )2 = ( ) 10
⦁ (        1101 ) 2 = ( ) 10
⦁ (      10011 ) 2 = ( ) 10
⦁ (          111 ) 2 = ( ) 10
⦁ (        0110 ) 2 = ( ) 10
⦁ (      11101 ) 2 = ( ) 10


DECİMAL SAYILARIN BİNARY SAYILARA ÇEVRİLMESİ

YÖNTEM-1

Decimal (Onlu) sayıları Binary (İkilik) sayılara çevirirken “Bölme-2” metodu kullanılır. Çıkan sonuç tersinden yazılır.






Örnek: (33)10 = ( ? )2
Bölünen Bölüm Kalan
  33÷2  16    1 LSB
  16÷2    8    0
    8÷2    4    0
    4÷2    2    0
    2÷2    1    0
    1÷2    0    1 MSB (100001) 2


(33)10 = (100001 )2

Örnek:  (172)10 = ( ? )2
Bölünen Bölüm Kalan
  172÷2    86    0
    86÷2    43    0
    43÷2    21    1
    21÷2    10    1
    10÷2      5    1
      5÷2      2    1
      2÷2      1    0
      1÷2      0    1

(172)10 = (10111100)2 sonucu elde edilir.


Aşağıda Tablo 11.1’de  0’dan 15’e kadar olan Decimal (Onlu) sayıların Binary (İkilik)
karşılıkları verilmiştir.

     Decimal   Binary

0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111




         Decimal   Binary
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111

Tablo 11.1: 15’e kadar binary sayılar

İkili sayı sistemi, sayısal sistemlerin bilgiyi tanımlayabilmesi için yeterli olmasına rağmen fazla sayıda basamak kullanılması, bu sayı sistemi ile ilgili işlemlerin çok uzun
sürmesi hata olasılığını beraberinde getirmektedir .

Örnek:
Aşağıda verilen Decimal (Onlu) sayıların Binary  (İkilik ) karşılıklarını bulunuz.
⦁ (    13)10 =   ( )2
⦁ (    78)10 =   ( )2
⦁ (  239)10 =   ( )2
⦁ (  256)10 =   ( )2
⦁ (  512)10 =   ( )2
⦁ ( 1971)10 =   ( )2


YÖNTEM-2

Binary sayıların basamak çarpan değerlerinin 2’nin katları şeklinde artarak gideceğini biliyoruz. Buna göre bir şablon oluşturalım ve tablo-11.1’de verilen bazı sayıları bu şablona yerleştirelim.

…  2048   1024   512   256  128  64     32     16      8       4       2        1    
     1       0       0        1  =   9
     0       1       0        1  =   5
     1       1       0        1  = 13

İkili sayı sisteminde en küçük basamağın çarpan değeri 20 =1, sonraki basamağın çarpan değeri 21=1, sanraki 22=4, sonraki 23=8  ve sonrakiler sürekli 2 katı olacak şekilde gidecektir. Tablodan bildiğimiz bazı sayıları buraya yazıp incelediğimizde 1’e karşılık gelen basamakların şablon değerlerinin toplamının onlu sayıya karşılık geldiği görülmektedir. 8+1=9,  4+1=5 ve 8+4+1=13 şeklinde..

O halde bundan sonrası için onlu sayıları ikili sayılara dönüştürürken bölme işlemlerine gerek kalmadan bu şablondaki basamak çarpan değerlerini toplamak suretiyle dönüşümler daha pratik olarak yapılabilecektir.

Örnek:
( 50)10 = ( ? )2
50 sayısı şablondaki 32, 16 ve 2 rakamlarının toplamından oluşmaktadır. O halde bu basamaklara 1, alınmayan basamaklara 0 yazılacaktır.

( 50 )10 = ( 110010 )2

…  2048   1024   512   256  128  64     32     16      8       4       2        1    
1        1      0       0       1        0  =    50
    1        0       1        0      0       1       1        0  =  166

Örnek:
( 166 )10 = ( ? )2
166 sayısı şablondaki 128, 32, 4 ve 2 rakamlarının toplamından oluşmaktadır. O halde bu basamaklara 1, alınmayan basamaklara 0 yazılacaktır.

( 166 )10  = ( 10100110 )2

Bu şablonu etkin kullanabilmek için bazan da çıkarma işlemi yapmak gerekir. Bunun için şunu bilmek gerekir. Belirli bir basamak sayısı kullandığımızda yazılabilecek en büyük sayı kaç olabilir? Mesela 6 basamakla en fazla kaç yazılabilir? Şablondan bakıldığında 32, 16, 8, 4, 2 ve 1 rakamlarının toplamına karşılık gelmektedir. Yani bu 6 basamağın hepsi 1 olarak alındığında bulunan sayı 63 olacaktır. Yani 7. Basamağın 1 küçüğü kadar. Buna göre 9 basamak ile yazılabilecek en büyük sayı 512 sayısının 1 eksiği kadar, yani 511 olacaktır. O halde artık 500 sayısını ikili sisteme dönüştürmek çok kolay olacak. 512’nin sağındaki bütün basamaklar 1 olarak alınırsa 511 yazılacaktı. Bizim yazmak istediğimizden 11 daha büyük. Öyleyse biz de 512’nin sağındaki rakamların hepsini alıp, 11’e karşılık gelen 8, 2 ve 1 basamaklarını 0 alırız. Böylece bölme işlemine gerek kalmadan onlu sayıları ikili sayılara dönüştürmüş oluruz.

 …  2048   1024   512   256  128  64     32     16      8       4       2        1    
    1          1        1       1       1       0       1       0        0   =   500

Örnek:
Aşağıda verilen Decimal (Onlu) sayıların Binary  (İkilik ) karşılıklarını bulunuz.
⦁ (  542 )10 =   ( )2
⦁ (  708)10 =   ( )2
⦁ ( 1439)10 =   ( )2
⦁ (  256)10 =   ( )2
⦁ ( 1024)10 =   ( )2
⦁ ( 1000)10 =   ( )2




Sevgili öğrenci,
Yukarıda verilen örneği mutlaka çözmeye çalışınız. Özellikle e ve f şıklarında verilen değerleri inceleyiniz. Bilgisayarlarda kapasite birimi olan BYTE biriminin ast ve üst katları arasında neden 1000 değil, 1024 çarpanının kullanıldığını anlayacağınızı sanıyorum. Bilgisayarlar Binary (ikilik) sisteme göre çalışan makinalardır. Eğer ast ve üst katlar arasındaki geçişler için decimal (onluk) sistemdeki gibi 1000 çarpanı kullanılacak olsaydı, bu 1000 çarpanı binary sistemde çok karmaşık bir sayı olarak karşımıza çıkacaktı. 1024 rakamı ise şablondan kolayca binary sisteme dönüştürülür. (10000000000)2